Тема № 9. Полное исследование функции с построением графика

            Мы рассмотрели отдельные элементы исследования функции, теперь приведём схему полного исследования функции.

Полное исследование функции с построением графика:

  1. Найти область определения функции, исследовать её поведение на границах этой области.
  2. Найти точки разрыва и классифицировать их с помощью односторонних пределов.
  3. Исследовать периодичность, чётность (нечётность).
  4. Найти точки пересечения графика с осями координат и интервалы знакопостоянства функции.
  5. Найти асимптоты.
  6. Найти точки экстремума и интервалы монотонности.
  7. Найти точки перегиба и интервалы выпуклости и вогнутости.
  8. Построить график, используя полученные результаты.

Пример 26. 

Исследовать функцию и построить её график.

Решение. Частично мы исследовали эту функцию в  примере 25.2

  1. Функция определена на интервалах (– , 2)   (2,  ), f (2 – 0) =  ,   f (2 + 0) = – .

  2. х = 2 –  единственная точка разрыва второго рода.

  3. Функция непериодична и её график не обладает никакой симметрией, то есть функция не чётна и не нечётна: .

  4. Точки пересечения графика с осью ординат:
                а)  при х = 0  у = 0,      б) при у = 0 х = 0,

то есть одна точка –  начало координат.

Интервалы знакопостоянства :

у   0, если х  (–   , 2),                1.gif (1207 bytes)
у < 0, если х   (2,  ).

  1. Асимптоты (см. тему № 8, пример 25.2) х = 2, .

  2. .

y/ = 0, если х = 0, х = 4
 y/ = , если х = 2

Интервалы монотонности

11.gif (1229 bytes)

Функция убывает, если х   (– , 0)   (4,  ),

функция возрастает, если х  (0, 4),

х = 0 –  точка минимума, у(0) = 0,

х = 4 –  точка максимума, у(4) = –  4.

  1.               .

                , , если х = 2,                 12.gif (1098 bytes)

              у// > 0, график вогнутый, если х  (– , 2), 

              у// < 0, график выпуклый, если х  (2, ) .

               8. Наносим на чертёж асимптоты и все найденные точки.

Для проверки подсчитаем: ; точка ложится на график (см. рис. 27).