Модуль I.  ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ


Упражнения для самостоятельной работы

Формула полной вероятности используется для определения вероятности события А, если событие А может произойти с_________ из событий H1,…Hn, которые_________между собой и называются..._________. Предполагается, что известны вероятности_________и условные вероятности_________.

В таком случае вероятность события А

Р(А) =_________

Гипотезы H1,…Hn образуют_________группу событий, т.е. ..._________

1-ый поставляет 2/3 всех изделий;

2-ой поставляет 1/3 всех изделий.

Надежность (вероятность безотказной работы) прибора, изготовленная 1-ым заводом равна Р1, изготовленная 2-ым заводом - Р2. Определить надежность прибора, поcтупившего на производство.

Решение:

H1 - прибор с_________завода.

H2 - прибор с_________завода.

P(H1)=_________P(H2)=_________

P(A/H1)=_________P(A/H2)=_________

Р(А) =_________

Определение. Вероятности P(H1),P(H2),…P(Hn), найденные до опыта, называются,_________ или априорными.

Предположим, что произведен эксперимент, в результате которого событие А наступило. Это позволяет произвести переоценку гипотез Hi, i=1,…,n по формуле

Вероятность P(Hi/A)=_________

Определение. Вероятности P(Hi/A), вычисленные после опыта, называются_________ , или апостериорными.

Вероятность того, что к моменту прихода пассажира имеющиеся в кассе билеты будут распроданы, равна Q1, Q2, Q3 соответственно для 1-ой, 2-ой и 3-ей касс. Пассажир направился в одну из касс и приобрел билет. Найти вероятность того, что это была 1-ая касса.

Решение:

H1 - подошел к_________ , P(H1)=_________ .

H2 - подошел ко_________ , P(H2)=_________ .

H3 - подошел к_________ , P(H3)=_________ .

P(A/H1) - купил билет в_________ , P(A/H1)=_________ .

P(A/H12) - купил билет во , P(A/H2)=_________ .

P(A/H3) - купил билет в_________ , P(A/H3)=_________ .

Вероятность того, что пассажир купил билет в 1-ой кассе

P(H1/A)=_________

Тесты

1. Часы изготавливаются на трех заводах и поступают в магазин. 1-ый завод выпускает 40% продукции, 2-ой - 45%, 3-ий - 15%. В продукции первого завода спешат 80% часов, второго - 70%, третьего - 90%. Какова вероятность того, что купленные часы спешат?

2. Даша, Аня и Олег заполняют бланки заказов в ресторане. Даша неправильно заполняет 20% бланков, Аня неправильно заполняет 12% бланков, Олег неправильно заполняет 5% бланков. Даша заполняет 30% всех бланков, Аня заполняет 45% всех бланков, Олег заполняет 25% всех бланков. бланк только что заполнен.

а) Какова вероятность, что Даша, Аня или Олег заполнили бланк, если известно, что бланк заполнен неправильно?

б) Какова вероятность, что Аня заполнила бланк?

3. У рыбака 3 излюбленных места, где он ловит рыбу и которые он посещает с равной вероятностью. Если он закидывает удочку на 1-ом месте, рыба клюет с вероятностью Р1, если на 2-ом, то рыба клюет с вероятностью Р2, если на 3-ем, то рыба клюет с вероятностью Р3. Известно, что, выйдя на ловлю рыбы, рыбак 3 раза закинул удочку и рыба клюнула только 1 раз. Найти вероятность того, что он удил на 1-ом месте.

Определение 1. Несколько опытов называются независимыми, если вероятность того или иного исхода каждого из опытов от того, какие исходы имели другие опыты.

Пример. Несколько последовательных выниманий карты из колоды представляют собой независимые опыты, если карта каждый раз_________ в колоду и колода перемешивается.

Задача. Определить вероятность того, что в результате проведения n независимых испытаний некоторое событие А наступит ровно m раз, если известно, что в каждом испытании данное событие наступает с вероятностью , которая является от опыта к опыту. Вероятность и обозначается В данном случае вероятность того, что событие А появится m раз в n испытаниях, определяется по формуле

Данная вероятность обозначается

  • Формула Бернулли

    • Вероятность изготовления на автоматическом станке стандартной детали равна 0.9. Определить вероятность того, что из 6 наудачу взятых деталей 4 окажутся стандартными.

Решение:

Так как вероятность изготовления детали остается от опыта к опыту, то можно использовать формулу

P6(4)=

Примечание. Если вероятность появления события А меняется от опыта к опыту, то вероятность появления события А в n опытах m раз определяется по общей формуле Бернулли (см. [1, 2] ).

Если вероятность появления события в одном опыте Р(А) не меняется от опыта к опыту, то для определения вероятности появления события А m раз в n опытах определяется с использованием частной теоремы Бернулли, которая только что нами рассмотрена.

Определение 2. Число m0 называется наивероятнейшим числом наступления события А в n испытаниях, если значение Pn(m) при m=m0 достигает величины.

Если и , то число m0 определяется из

Наивероятнейшее значение m0 равно целой части числа np+p, при целом значении np+p наивероятнейшее число равно двум значениям: m0= np+p -1и m0= np+p.

  • Вероятность попадания в цель при каждом выстреле из лука равна 1/3. Производится 6 выстрелов. Какова вероятность ровно двух попаданий? Каково наивероятнейшее число попаданий?

Решение:

А - попадание при одном выстреле.

p=P(A)=

Число выстрелов n =

P6(2)=

Наивероятнейшее число

Вопрос: Какие формулы используются для определения вероятности Pn(m), когда n и m большие числа?

Если n велико, а р , вместо формулы Бернулли используют формулу . , где а = .

а) Какова вероятность отказа двух элементов за год?

б) Какова вероятность отказа не менее двух элементов за год?

а) Решение:

А - отказ элемента за год.

n =

p =

a =

P2000(2)

б) Решение:

P2000(2,20000)=1-P2000(0)-P2000(1)=

Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна , событие наступит не менее m1 раз и не более m2 раз, приблизительно равна

,

где Ф(x)=

Ф(x) - функция

x/= , x//=

Функция Лапласа функция, т.е. Ф(-x)=

Функция Лапласа протабулирована, и ее значения определяются по таблице (см. Приложение, табл. I).

Решение:

А - ответ неискренний

n =

p=P(A)=

 

q =

x//=

x/=

P22500(4380,4560)=Ф(x//=)-Ф(x/=)=

Примечание. Значение функции Лапласа, если известен аргумент, определяется из табл. I Приложения. В левом столбце находятся аргументы, поле таблицы заполнено значениями функции Лапласа с учетом сотых знаков аргумента после запятой, что отмечено в верхней строке. Нужное значение функции Лапласа определяется на пересечении линий, соответствующих аргументу, и сотых знаков после запятой.

Пример: Ф(1.25)=0.3944.