Модуль I.  ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
1. Вероятность случайных событий


Тема 5. Локальная и интегральная формулы Муавра-Лапласа

1.1.18. Локальная и интегральная формулы Муавра-Лапласа

1.1.19. Задание для самостоятельной работы


1.1.18. Локальная и интегральная формулы Муавра-Лапласа

Локальная формула Муавра-Лапласа

Если вероятность p наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то вероятность Pn(m) того, что событие А произойдет m раз в n независимых испытаниях при достаточно большом числе n, приближенно равна

 

,

(1.13)
где

,

(1.14)
 

,

(1.15)

чем больше n, тем точнее формула (1.13). Вычисление по этой формуле дает незначительную погрешность при выполнении условия .

Функция f(x) протабулирована. Пользуясь таблицей, необходимо иметь в виду свойства этой функции.

  1. Функция f(x) является четной, т. е. f(-x)=f(x).
  2. Функция f(x) монотонно убывающая при положительных значениях x, причем при .

(Практически f(x) уже при x>4).

Пример. В некоторой местности из каждых ста семей 80 имеют холодильники. Найти вероятность, что из четырехсот семей 300 имеют холодильники.

Решение. Вероятность того, что семья имеет холодильник, ;

. Условие выполнено.

Применим локальную теорему Муавра - Лапласа. Вначале определим .

По формуле

.

Значение f(2,5) найдено по табл. IV Приложения.

Пусть в условиях данного примера необходимо найти вероятность того, что от 300 до 360-ти семей (включительно) имеют холодильники, в этом случае по теореме сложения вероятность искомого события

.

Значение из слагаемых можно вычислить по локальной теореме Муавра - Лапласа, но это слишком громоздко. В этом случае можно использовать интегральную теорему Муавра - Лапласа.

Интегральная теорема Муавра - Лапласа

Если вероятность p наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность того, что число m наступления события A в n независимых испытаниях заключено в пределах от a до b (включительно) при достаточно большом числе n приближенно равна

,

(1.16)

где - функция (или интеграл Лапласа);

(1.17)

; .

(1.18)

Чем больше n, тем точнее формула; при формула дает незначительную погрешность.

Свойства функции Лапласа

  1. Функция Ф(x) нечетная

    Ф(-x) = -Ф(x).

  2. Функция Ф(x) монотонно возрастающая; при , практически уже при x>4 Ф(x)≈1.

Пример. По данным предыдущего примера

,

где

Следствие. Если вероятность p наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то при достаточно большом числе n независимых испытаний вероятность того, что:

а) число m наступлений события А отличается от произведения np не более чем на величину (по абсолютной величине), то

;

(1.19)

б) частость события А заключена в пределах от α до β (включительно):

,

(1.20)

где

(1.21)

в) частость события А отличается от его вероятности p не более чем на величину (по абсолютной величина), т. е.

.

(1.22)

1.1.19. Задание для самостоятельной работы

1. В корзине 7 белых и 3 черных шара. Какова вероятность того, что при десяти независимых выборах с последующим возвращением шара будет выниматься 6 раз белый шар?

Ответ: 0.2.

2. В корзине 7 белых и 3 черных шара. Какова вероятность того, что при ста независимых испытаниях с последующим возвращением шара белый шар будет выниматься 60 раз? Каково наиболее вероятное число появления белого шара?

Ответ: P100(60), m0=70.

3. В корзине 7 белых и 3 черных шара. Какова вероятность того, что при ста независимых испытаниях с последующим возвращением шара не менее 80-ти раз будет выниматься белый шар?

Ответ: 0.005.

4. Вероятность того, что с конвейера сойдет бракованный прибор, равна 0.02. За смену было изготовлено 3600 приборов. Найти максимальное отклонение относительной частоты появления бракованных приборов от вероятности 0.02, если вероятность такого отклонения равна 0.95.

Ответ: 0.0046.

5. Вероятность того, что на станке-автомате будет изготовлена деталь, размеры которой отклонятся от стандарта, равна 0.01. Сколько надо изготовить деталей, чтобы с вероятностью 0.99 ожидать, что отклонение частоты появления нестандартной детали от вероятности ее появления не будет больше, чем 0.03.

Ответ: 74.

6. Известно, что при контроле бракуется 10 % изделий. Для контроля отобрано 625 изделий. Какова вероятность того, что среди отобранных деталей не менее 550 и не более 575 стандартных деталей.

Ответ: 0.9051.